軽自動車税（種別割）は４月１日現在の所有者に対してかかります。譲渡の手続きが４月２日以降ですと、その年度についてはあなたに軽自動車税（種別割）がかかります。

また、廃車手続きをしないで、他人に譲った場合、その方が廃車等の手続きをしていないと、登録上の所有はあなたのままですので、軽自動車税（種別割）の納税義務が発生します。原付バイクを譲った相手方に廃車の手続きをしたかどうか確認してください。

原付バイクを譲る場合等は、なるべく廃車手続きをしてから譲った方が良いかと思います。